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思索数学

In Thoughts on 10 June 2008 with 3 comments

:理解就是改变，就是超越自己已有的认识

自我接触数学以来也有十多年了。无论在小学、中学，还是大学，数学始终是一门必修课，不论其目的，直觉上需要每名学生都能通透理解，而我向来爱好它，正因为此我自信于对数学的认识。然当我真正地靜下思索它时，我笑了。

在数学起源之初，数学的知识被认为是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。然而无理数的发现，引起了第一次数学危机，使人们陷入恐慌。随着Euclid在<原本>中给出解答，危机才渐渐平息。从此，人们开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。就当时来看，未知是那么令人惊慌失措，如今犹甚。记得数学史家Eric·Temple·Bell对超越数的描述是这么说的，”点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”人们往往看到繁星的璀璨后，就以为那无限的瑰宝触手可得，然真正的”勇士”伸出了手，上帝笑了。

对于历史的感悟不需要更多，回头反问自己，数学究竟是什么?真是令人困惑且难以回答的问题。经验认为数学诞生于人类在改造客观世界中不自觉形成的意识，具有先验性。从原始的生产需要，产生了整数，到生活上的需求造就了几何，可见早期数学与人类的生产和生活息息相关。直到公元前580年，Pythagoras宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘，从此也把数学提升到了研究的水平。跨越二千多年的研究及探索后，生产水平提高到了自动化，人类生活水平亦日益提高，对数学的依赖却没有丝毫的降低，数学应用也深入到了各个领域中。数学己为事物空间预测可操作的模型，为感性世界提供理性解释作出了杰出贡献。尽管现在大部分数学理论因缺乏现实价值而被质疑，但数学的价值怎能用感性认识来衡量。

本人自学习数学以来，对它一直充满了好奇及敬畏。数学涉及极广的领域，基本所有的工科领域都依赖于它，从任一方面也只不过窥豹一斑，假若数学的根基发生了动摇，人类文明都可能毁之一旦。幸运的是，历史上三次数学危机，没有击溃我们的文明，人类经过不懈努力克服了弊端，巩固了地基，保护了矗立着的大厦。

前人的意志激励了我，使我能反思数学问题及意义。遂说到数理逻辑，为数学理论之根本。没有逻辑性，就没有数学的理性，诸如推理、归纳等方法，都源自于逻辑。而逻辑产生的语义制造了表象给人以种种暗示，思维随着暗示按部就班，局限了数学思维，乃至局限了所有学科的思维方式。尽管言语试图突破瓶颈，运用包括各种符号、变换，以弥补残缺，结果反是更依赖了它。无论我们是否意识到这样的局限性，它始终无法消失。

当然，关于语义的思考，确切的，依据精神分析学的研究，认为如果将语词视为对大脑里的一切东西的全部表达，错误地将它们等同于人们的思想的话，只会减低我们心理过程的多维复杂性和丰富性。对任何有经验的精神分析师来说，很明显，病人所能使用的词汇只能表达出他的情感、幻想和感觉宝库中极有限的一部分。这不仅适用于神经症患者或者是精神病患者，而且是整个人类的一个共通的特性。Einstein曾经谈论过，”我不能理解，现代哲学家们试图通过对语言的强调想证明什么?我们难道没有经历过，要想通过语言来表达我们所想所感多么的困难，甚至经常无法做到吗?”显然，精神分析学早提出了这样的论断。

我对数学没有更深的认识，而Morris·Kline<古今数学思想>对数学实在有更好的认识，它的最后一段文字作出了数学意义的解释，”关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。’数学化’(Mathematizing)很可能是人的一种创造性活动，像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性决定不容许完全的客观的有理化(rationalization)。”

后记:时光总是这么匆匆地逝去，让我需要留下些什么。谨为美好的未来祝愿！

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